READING COMPREHESION dan Pembahasan Nya

25 Soal dan Pembahasan Induksi Matematika

Pada pembahasan ini kita akan berlatih untuk membuktikan suatu pernyataan matematis dengan menggunakan induksi matematika. Metode pembuktian ini digunakan untuk membuktikan pernyataan yang bergantung pada bilangan bulat positif.

---

Prinsip Induksi Matematika

Untuk setiap bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan yang bergantung pada n. Jika

1. P(1) benar, dan
2. untuk setiap bilangan bulat positif k, jika P(k) benar maka P(k + 1) benar

maka pernyataan P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.

---

Untuk menerapkan prinsip ini, kita harus melakukan dua langkah:

Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)

Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar, dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah induksi)

Perlu diingat bahwa dalam Langkah 2 kita tidak membuktikan bahwa P(k) benar. Kita hanya menunjukkan bahwa jika P(k) benar, maka P(k + 1) juga bernilai benar. Anggapan bahwa pernyataan P(k) benar disebut sebagai hipotesis induksi.

Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P(k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk menyatakan P(k + 1), substitusi kuantitas k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).

Soal 1: Pendahuluan

Tentukan pernyataan P(k + 1) untuk masing-masing pernyataan P(k) berikut.

1. P(k): S_k = [k²(k + 1)²]/4
2. P(k): S_k = 1 + 5 + 9 + … + [4(k – 1) – 3] + (4k – 3)
3. P(k): k + 3 < 5k²
4. P(k): 3^k ≥ 2k + 1

Pembahasan

1. Kita substitusi k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).
   
2. Untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1), kita ganti k pada pernyataan P(k) dengan k + 1.
   
3. Kita substitusi k dengan k + 1, dan kita peroleh
   
4. Serupa dengan soal-soal sebelumnya, kita substitusi k pada pernyataan P(k) dengan k + 1 untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1).
   

Ketika menggunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus penjumlahan (seperti pada Soal 2), akan sangat membantu jika kita berpikir bahwa S_{k + 1} = S_k + a_{k + 1}, di mana a_{k + 1} adalah suku ke-(k + 1) dari penjumlahan tersebut.

Soal 2: Menggunakan Induksi Matematika

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus

untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Pembahasan Induksi matematika terdiri dari dua bagian yang berbeda.

1. Pertama, kita harus menunjukkan bahwa rumus tersebut benar ketika n = 1. Ketika n = 1, rumus tersebut benar, karena
   
2. Bagian kedua induksi matematika memiliki dua langkah. Langkah pertama adalah menganggap bahwa rumus tersebut benar untuk sebarang bilangan bulat k. Langkah kedua adalah menggunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk bilangan bulat selanjutnya, k + 1. Anggap bahwa rumus
   
   bernilai benar, kita harus menunjukkan bahwa rumus S_{k + 1} = (k + 1)² benar.
   

Dengan menggabungkan hasil pada langkah (1) dan (2), kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa rumus tersebut benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Soal 3: Menggunakan Induksi Matematika

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n,

Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2. Kita akan menunjukkan bahwa P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.

1. Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar. Dari rumus di atas, pernyataan P(1) menyatakan
   
   dan pernyataan ini dengan jelas bernilai benar.
2. Anggap bahwa P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita adalah
   
   Kita akan gunakan hipotesis tersebut untuk menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu
   
   Sehingga, kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan hipotesis induksi untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
   
   Sehingga kebenaran P(k + 1) mengikuti kebenaran P(k), dan kita telah melakukan langkah induksi.

Setelah membuktikan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan Prinsip Induksi Matematika bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

---

Rangkuman berikut ini memberikan rumus-rumus untuk jumlah pangkat dari n bilangan bulat positif pertama. Rumus-rumus ini sangat penting dalam kalkulus. Rumus 1 telah kita buktikan dalam Contoh 2. Rumus-rumus yang lain juga dapat dibuktikan dengan mengunakan induksi matematika.

Soal 4: Menggunakan Induksi Matematika

Buktikan bahwa

untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + … + n(n + 1) = [n(n + 1)(n + 2)]/3.

1. Kita akan tunjukkan bahwa P(1) bernilai benar. Berdasarkan rumus di atas, P(1) menyatakan
   
   yang bernilai benar.
2. Anggap bahwa P(k) benar dan kita memperoleh hipotesis induksi sebagai berikut.
   
   Hipotesis ini akan kita gunakan untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. Pernyataan P(k + 1) menyatakan
   
   Kita mulai dari bentuk yang berada di ruas kiri, kemudian kita gunakan hipotesis induksi untuk mendapatkan bentuk pada ruas kanan.
   
   Sehingga kita telah menunjukkan bahwa P(k + 1) mengikuti P(k). Sehingga kita telah membuktikan langkah induksi.

Berdasarkan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Soal 5: Menggunakan Induksi Matematika

Buktikan bahwa

untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan 1 ∙ 2 + 2 ∙ 2² + 3 ∙ 2³ + … + n ∙ 2ⁿ = 2[1 + (n – 1)2ⁿ]

1. Pertama kita buktikan bahwa P(1) benar. Pernyataan ini menyatakan
   
   yang dengan jelas bernilai benar.
2. Selanjutnya, kita anggap bahwa P(k) bernilai benar dan menghasilkan hipotesis induksi sebagai berikut.
   
   Hipotesis induksi tersebut akan kita gunakan untuk membuktikan kebenaran P(k + 1). Pernyataan P(k + 1) mengatakan
   
   Kita mulai dari ruas kiri, kemudian kita gunakan hipotesis induksi untuk mendapatkan bentuk yang berada di ruas kanan.
   
   Sehingga pada Langkah 2 ini kita telah membuktikan bahwa jika P(k) benar maka P(k + 1) juga benar.

Jadi, berdasarkan Langkah 1 dan 2, dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Sering terjadi bahwa pernyataan P(n) bernilai salah untuk beberapa bilangan bulat positif pertama, tetapi bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif selanjutnya. Sebagai contoh, mungkin kita ingin membuktikan P(n) benar untuk n ≥ 5. Perhatikan bahwa jika kita telah membuktikan P(5) benar, maka fakta ini, bersama dengan langkah induksi, akan mengakibatkan kebenaran P(5), P(6), P(7), …. Kasus ini merupakan variasi dari Prinsip Induksi Matematika. Model lain dari induksi matematika ini disebut sebagai Prinsip Induksi Matematika yang Diperluas. Contoh berikutnya mengilustrasikan hal ini.

Soal 6: Membuktikan Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika

Buktikan bahwa 4n < 2ⁿ untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5.

Pembahasan Misalkan P(n) menyatakan pernyataan 4n < 2ⁿ.

1. P(5) adalah pernyataan 4 ∙ 5 < 2⁵, atau 20 < 32, yang bernilai benar.
2. Anggap P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita adalah
   
   Kita akan menggunakan hipotesis ini untuk menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu
   
   Sehingga kita mulai dengan bentuk di ruas kiri pertidaksamaan tersebut dan menggunakan hipotesis induksi untuk menunjukkan bahwa bentuk tersebut kurang dari bentuk yang berada di ruas kanan. Untuk k ≥ 5 kita mendapatkan
   
   Sehingga P(k + 1) mengikuti P(k), sehingga kita telah melakukan langkah induksi.

Setelah kita membuktikan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan Prinsip Induksi Matematika bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5.

Soal 7: Membuktikan Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika

Buktikan bahwa

untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 3.

Pembahasan Misalkan P(n) menyatakan (n + 1)² < 2n².

1. Pernyataan P(3), yaitu
   
   dengan jelas bernilai benar.
2. Anggap P(k): (k + 1)² < 2k² bernilai benar, kita harus menunjukkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar, yaitu [(k+1) + 1]² < 2(k + 1)². Untuk k ≥3, kita memperoleh
   
   Sehingga kita telah menunjukkan kebenaran pernyataan jika P(k) benar maka P(k + 1). Oleh karena itu, berdasarkan Langkah 1 dan 2, dengan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 3.

Soal 8: Membuktikan Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika

Buktikan bahwa n! > 2ⁿ untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 4.

Pembahasan Misalkan P(n) merupakan notasi untuk pernyataan n! > 2ⁿ.

1. Pertama kita harus menunjukkan bahwa P(4) benar. Padahal P(4) menyatakan bahwa
   
   Karena 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 dan 2⁴ = 16, maka P(4) benar.
2. Kita anggap bahwa P(k): k! > 2^k benar. Kita akan tunjukkan P(k + 1): (k + 1)! > 2^{k + 1} juga bernilai benar.
   
   Sehingga pada langkah induksi ini kita dapat melihat bahwa kebenaran P(k) mengakibatkan P(k + 1). Jadi, dari Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa P(n) bernilai benar untuk n ≥ 4.

Soal 9: Membuktikan Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika

Buktikan bahwa

untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 2.

Pembahasan Misalkan P(n) merupakan notasi dari pernyataan 1/√1 + 1/√2 + 1/√3 + … + 1/√n > √n.

1. Kita tunjukkan bahwa P(2) benar, yaitu
   
   Karena 1/√1 + 1/√2 ≈ 1,707 dan √2 ≈ 1,414 maka P(2) bernilai benar.
2. Anggap bahwa P(k) benar maka kita memperoleh hipotesis induksi seperti berikut.
   
   Selanjutnya, kita tunjukkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar dengan menggunakan hipotesis tersebut. P(k + 1) menyatakan bahwa
   
   Dengan menggunakan hipotesis induksi, kita ubah bentuk ruas kiri di atas menjadi bentuk yang ada di ruas kanan. Untuk k ≥ 2,
   
   Sehingga kita telah menunjukkan bahwa jika P(k) benar maka P(k + 1) benar. Jadi dengan menggunakan Prinsip Induksi Matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 2.

Soal 10: Membuktikan Faktor

Buktikan bahwa 3 adalah faktor 4ⁿ – 1 untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembahasan

1. Untuk n = 1, pernyataan tersebut benar karena
   
   Sehingga, 3 adalah faktor bentuk di atas.
2. Anggap bahwa 3 adalah faktor dari 4^k – 1, kita harus menunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari 4^{k + 1} – 1. Untuk melakukan hal ini, kita tulis seperti berikut.
   
   Karena 3 adalah faktor dari 4^k ∙ 3 dan 3 juga merupakan faktor 4^k – 1, maka 3 adalah faktor dari 4^{k + 1} – 1. Dengan menggabungkan hasil pada Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa 3 adalah faktor 4ⁿ – 1 untuk semua bilangan bulat positif n.

Soal 11: Membuktikan Suatu Faktorisasi

Buktikan bahwa x – y adalah faktor dari xⁿ – yⁿ untuk semua bilangan bulat positif n. [Petunjuk: x^{k + 1} – y^{k + 1} = x^k(x – y) + (x^k – y^k)y.]

Pembahasan

1. Untuk n = 1, pernyataan tersebut benar karena
   
   Sehingga x – y adalah faktor dari bentuk di atas.
2. Anggap bahwa x – y merupakan faktor dari x^k – y^k untuk sebarang bilangan bulat positif k. Kita harus menunjukkan bahwa x – y merupakan faktor dari x^{k + 1} – y^{k + 1}. Perhatikan bahwa
   
   Karena x – y faktor dari x – y dan x^k – y^k (berdasarkan hipotesis induksi), maka kita dapat menyimpulkan bahwa x – y merupakan faktor dari x^{k + 1} – y^{k + 1}. Jadi, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika bahwa x – y adalah faktor dari xⁿ – yⁿ untuk semua bilangan bulat positif n.

Soal 12: Membuktikan Faktor

Buktikan bahwa salah satu faktor dari (n³ + 3n² +2n) adalah 3 untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembahasan

1. Untuk n = 1, bentuk di atas menjadi
   
   Sehingga benar bahwa 3 merupakan salah satu faktor dari bentuk tersebut.
2. Anggap bahwa, untuk sebarang bilangan bulat positif k, 3 merupakan salah satu faktor dari (k³ + 3k² +2k). Kita harus menunjukkan bahwa 3 juga merupakan faktor dari (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 2(k + 1). Pertama kita tulis (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 2(k + 1) seperti berikut.
   
   Karena 3 merupakan faktor dari k³ + 3k² + 2k dan 3(k² + 3k + 2), maka 3 merupakan faktor dari (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 2(k + 1). Jadi, dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa 3 merupakan salah satu faktor dari (n + 1)³ + 3(n + 1)² + 2(n + 1) untuk semua bilangan bulat positif n.

Soal 13: Membuktikan Faktor

Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n, salah satu faktor dari 2^{2n + 1} + 1 adalah 3.

Pembahasan

1. Untuk n = 1 bentuk di atas menjadi
   
   Sehingga, benar bahwa 3 merupakan salah satu faktor dari 9.
2. Kita anggap bahwa untuk sebarang bilangan bulat positif k, Salah satu faktor 2^{2k + 1} + 1 adalah 3. Sekarang kita akan menunjukkan bahwa 3 merupakan salah satu faktor 2^{2(k + 1) + 1} + 1.
   
   Karena 3 merupakan salah satu faktor dari bentuk-bentuk 3 ∙ 2^{2k + 1} dan 2^{2k + 1} + 1 maka 3 adalah faktor dari 2^{2(k + 1) + 1} + 1. Jadi kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika bahwa salah satu faktor dari 2^{2n + 1} + 1 adalah 3.

Walaupun menentukan satu rumus yang berdasarkan beberapa pengamatan saja tidak menjamin kebenaran rumus tersebut, tetapi mengenali pola adalah hal yang penting. Ketika kita mendapatkan pola atau rumus yang kita pikir benar, kita dapat membuktikan kebenaran pola atau rumus tersebut dengan menggunakan induksi matematika.

---

Menemukan Rumus Suku ke-n Suatu Barisan

Untuk menemukan rumus suku ke-n dari suatu barisan, perhatikan petunjuk berikut.

1. Hitung beberapa suku pertama dari barisan yang diberikan. Biasanya sangat membantu jika kita menulis suku-suku tersebut ke dalam bentuk sederhana dan bentuk faktor.
2. Cobalah untuk menemukan pola dari suku-suku yang telah kita hitung dan tulis rumus suku ke-n barisan tersebut. Rumus ini merupakan hipotesis atau konjektur kita. Mungkin kita perlu mencoba untuk menghitung satu atau dua suku selanjutnya dalam barisan tersebut untuk menguji hipotesis kita.

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan hipotesis yang kita dapatkan.

---

Soal 14: Menemukan Rumus untuk Barisan Terhingga

Temukan rumus untuk penjumlahan berhingga berikut kemudian buktikan rumus tersebut dengan induksi matematika.

Pembahasan Kita mulai dengan menuliskan beberapa penjumlahan pertama.

Dari barisan ini, tampak bahwa rumus penjumlahan k suku pertama adalah

Untuk membuktikan kebenaran hipotesis ini, kita gunakan induksi matematika. Perhatikan bahwa kita telah menguji rumus ini untuk n = 1, sehingga kita mulai dengan menganggap bahwa rumus tersebut benar untuk n = k dan mencoba untuk menunjukkan bahwa rumus tersebut juga benar untuk n = k + 1.

Jadi, berdasarkan induksi matematika hipotesis tersebut benar.

Soal 15: Menemukan Rumus untuk Barisan Terhingga

Temukan rumus untuk penjumlahan berhingga berikut kemudian buktikan rumus tersebut dengan induksi matematika.

Pembahasan Kita tulis beberapa penjumlahan pertama sebagai berikut.

Berdasarkan pola di atas, kita dapat melihat bahwa rumus jumlah k suku pertama adalah

Kita gunakan induksi matematika untuk membuktikan konjektur tersebut. Karena kita sudah menunjukkan kebenaran rumus tersebut untuk n = 1, kita mulai pembuktian ini dengan menganggap bahwa rumus ini benar untuk n = k, dan mencoba untuk menunjukkan bahwa rumus tersebut juga benar untuk n = k + 1.

Jadi, berdasarkan induksi matematika konjektur kita tersebut benar.

Soal 16: Membuktikan Keterbagian

Gunakan induksi matematika untuk menunjukkan bahwa 5ⁿ – 1 habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembahasan

1. Untuk n = 1,
   
   yang sangat jelas habis dibagi 4.
2. Kita anggap 5^k – 1 habis dibagi 4 untuk sebarang bilangan bulat positif k. Akan kita tunjukkan 5^{k + 1} – 1 juga habis dibagi 4.
   
   Karena 4 ∙ 5^k dan 5^k – 1 habis dibagi 4 maka 5^{k + 1} – 1 habis dibagi 4. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa 5ⁿ – 1 habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n.

Soal 17: Bilangan Ganjil

Buktikan bahwa n² – n + 41 merupakan bilangan ganjil untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembahasan

1. Untuk n = 1,
   
   merupakan bilangan ganjil.
2. Kita anggap untuk sebarang bilangan bulat positif k, k² – k + 41 merupakan bilangan ganjil. Selanjutnya kita harus menunjukkan bahwa (k + 1)² – (k + 1) + 41 adalah bilangan ganjil.
   
   Karena k² – k + 41 adalah bilangan ganjil dan 2k adalah bilangan genap, maka jumlah kedua bilangan tersebut, yaitu (k + 1)² – (k + 1) + 41 merupakan bilangan ganjil. Jadi, dengan menggunakan Prinsip Induksi Matematika kita dapat meyimpulkan bahwa n² – n + 41 merupakan bilangan ganjil untuk semua bilangan bulat positif n.

Soal 18: Membuktikan Keterbagian

Buktikan bahwa 3²ⁿ – 1 habis dibagi 8 untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembahasan Misalkan P(n) merupakan notasi untuk pernyataan “ 3²ⁿ – 1 habis dibagi 8.”

1. Pertama kita tunjukkan bahwa P(1) benar. Karena
   
   yang habis dibagi 8, maka P(1) terbukti benar.
2. Anggap bahwa P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita menyatakan bahwa 3^2k – 1 habis dibagi 8. Selanjutnya kita akan tunjukkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar.
   
   Karena 8 ∙ 3^2k dan 3^2k – 1 habis dibagi 8 maka 3^{2(k + 1)} – 1 habis dibagi 8. Jadi dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa 32n – 1 habis dibagi dengan 8 untuk semua bilangan bulat positif n.

Pada bagian awal pembahasan ini kita telah dikenalkan dengan induksi matematika yang selanjutnya digunakan untuk membuktikan beberapa pernyataan pada Contoh 1 – 18. Selanjutnya kita akan belajar bentuk lain dari induksi matematika, yang disebut sebagai induksi matematika kuat, yang sering digunakan ketika kita mengalami kesulitan untuk membuktikan suatu pernyataan dengan menggunakan induksi matematika biasa. Dalam induksi matematika kuat juga memiliki dua langkah, yaitu langkah dasar dan langkah induksi. Akan tetapi, pada langkah dasar memuat pembuktian-pembuktian untuk beberapa nilai awal, dan dalam langkah induksi kebenaran dari pernyataan P(n) diasumsikan tidak hanya untuk satu nilai n tetapi untuk semua nilai sampai k, dan kemudian kebenaran P(k + 1) dibuktikan.

---

Prinsip Induksi Matematika Kuat

Misalkan P(n) adalah pernyataan yang didefinisikan untuk bilangan bulat n, dan misalkan a dan b adalah bilangan bulat sedemikian sehingga a ≤ b. Jika dua pernyataan berikut bernilai benar,

1. P(a), P(a + 1), …, dan P(b) semuanya bernilai benar. (langkah dasar)
2. Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ b, jika P(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai a sampai k, maka P(k + 1) benar. (langkah induksi)

Maka untuk semua bilangan bulat n ≥ a, P(n) benar. (Asumsi bahwa P(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai dari a sampai k disebut sebagai hipotesis induksi. Cara lain untuk menyatakan hipotesis induksi adalah dengan menyatakan bahwa P(a), P(a + 1), …, P(k) semuanya bernilai benar.)

---

Pada contoh berikutnya kita akan mencoba untuk membuktikan suatu teorema keterbagian oleh bilangan prima. Teorema ini menyatakan bahwa semua bilangan bulat yang lebih besar dari 1 habis dibagi oleh suatu bilangan prima.

Soal 19: Keterbagian oleh Bilangan Prima

Buktikan bahwa sebarang bilangan bulat yang lebih besar dari 1 habis dibagi oleh suatu bilangan prima.

Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan: “Untuk semua bilangan bulat n ≥ 2, n habis dibagi oleh suatu bilangan prima.”

1. Pertama, kita tunjukkan bahwa P(2) bernilai benar. Karena 2 habis dibagi 2 dan 2 adalah bilangan prima, maka P(2): “2 habis dibagi oleh suatu bilangan prima” bernilai benar.
2. Misalkan k adalah sebarang bilangan bulat dengan k ≥ 2 dan kita anggap bahwa i habis dibagi oleh suatu bilangan prima untuk semua bilangan bulat i mulai dari 2 sampai k. Kita harus tunjukkan bahwa k + 1 juga habis dibagi bilangan prima.
   Kasus 1 (k + 1 adalah bilangan prima): Pada kasus ini k + 1 habis dibagi oleh suatu bilangan prima, yaitu bilangan itu sendiri.
   Kasus 2 (k + 1 bukan bilangan prima): Pada kasus ini k + 1 = ab di mana a dan b adalah bilangan bulat dengan 1 < a < k + 1 dan 1 < b < k + 1. Sehingga, dengan kata lain, 2 ≤ a ≤ k, dan berdasarkan hipotesis induksi, a habis dibagi oleh suatu bilangan prima p. Dan karena k + 1 = ab, maka k + 1 habis dibagi a. Oleh karena itu, karena k + 1 habis dibagi a dan a habis dibagi p, maka dengan keterbagian transitif, k + 1 habis dibagi oleh bilangan prima p.
   Jadi, dengan menggunakan induksi matematika kuat kita dapat menyimpulkan bahwa semua bilangan bulat n ≥ 2, n habis dibagi oleh suatu bilangan prima.

Soal 20: Membuktikan Sifat Barisan dengan Induksi Matematika Kuat

Suatu barisan s₀, s₁, s₂, … didefinisikan sebagai berikut:

untuk semua bilangan bulat k ≥ 2.

Diduga bahwa untuk setiap bilangan bulat n ≥ 0, suku ke-n barisan ini memiliki nilai sama dengan 5ⁿ – 1. Dengan kata lain, dugaan ini menyatakan bahwa semua suku barisan tersebut memenuhi persamaan s_n = 5ⁿ – 1. Buktikan bahwa dugaan ini benar.

Pembahasan Misalkan s₀, s₁, s₂, … adalah barisan yang didefinisikan sebagai s₀ = 0, s₁ = 4, dan s_k = 6a_{k – 1} – 5a_{k – 2} untuk semua bilangan bulat k ≥ 2, dan misalkan P(n) menotasikan pernyataan

Kita akan menggunakan induksi matematika kuat untuk membuktikan bahwa untuk semua bilangan bulat n ≥ 0, P(n) bernilai benar.

1. Untuk membuktikan bahwa P(0) dan P(1) benar, kita harus menunjukkan bahwa
   
   Akan tetapi, sesuai definisi barisan s₀, s₁, s₂, …, kita memiliki s₀ = 0 dan s₁ = 4. Karena 5⁰ – 1 = 1 – 1 = 0 dan 5¹ – 1 = 4, nilai-nilai s₀ dan s₁ sama dengan nilai-nilai yang diberikan oleh rumus yang diberikan.
2. Misalkan k adalah sebarang bilangan bulat dengan k ≥ 1 dan anggap bahwa s_i = 5ⁱ – 1 untuk semua bilangan bulat i dengan 0 ≤ i ≤ k. Kita harus menunjukkan bahwa
   
   Akan tetapi karena k ≥ 1, kita peroleh bahwa k + 1 ≥ 2, sehingga
   
   Sehingga kita telah menunjukkan bahwa P(k + 1) mengikuti P(i) dalam langkah induksi. Jadi, dengan menggunakan induksi matematika kuat kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.

Soal 21: Membuktikan Sifat Barisan

Misalkan a₁, a₂, a₃, … adalah barisan yang didefinisikan sebagai berikut.

untuk semua bilangan bulat k ≥ 3. Buktikan bahwa a_n adalah bilangan ganjil untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Pembahasan Misalkan P(n) menyatakan bahwa a_n adalah bilangan ganjil. Kita akan membuktikan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

1. Kita akan tunjukkan bahwa P(1) dan P(2) benar. Karena menurut definisi barisan a₁, a₂, a₃, … nilai a₁ = 1 dan a₂ = 3 yang keduanya merupakan bilangan ganjil, maka P(1) dan P(2) benar.
2. Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ 2, kita anggap bahwa P(i) bernilai benar untuk 1 ≤ i ≤ k. Sehingga hipotesis induksi kita adalah bahwa a_i merupakan bilangan ganjil. Kita akan menggunakan ini untuk menunjukkan bahwa P(k +1) benar, yaitu a_{k + 1} juga merupakan bilangan ganjil. Perhatikan bahwa
   
   Menurut hipotesis induksi, a_{k – 1} dan a_k merupakan bilangan ganjil. Padahal 2a_k merupakan bilangan genap. Hasilnya, penjumlahan bilangan ganjil dan bilangan genap, a_{k – 1} + 2a_k, adalah suatu bilangan ganjil. Sehingga P(k + 1) bernilai benar. Jadi, dengan menggunakan induksi matematika kuat kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Soal 22: Membuktikan Sifat Barisan

Misalkan b₀, b₁, b₂, … adalah barisan yang didefinisikan sebagai berikut.

untuk semua bilangan bulat k ≥ 2. Buktikan bahwa b_n = 3 ∙ 2ⁿ + 2 ∙ 5ⁿ untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.

Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan yang menyatakan bahwa

Akan kita tunjukkan bahwa P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.

1. Pertama, akan kita tunjukkan bahwa P(0) dan P(1) benar, yaitu
   
   Sesuai definisi, b₀ = 5 dan b₁ = 16. Sedangkan 3 ∙ 2⁰ + 2 ∙ 5⁰ = 3 + 2 = 5 dan 3 ∙ 2¹ + 2 ∙ 5¹ = 6 + 10 = 16. Sehingga nilai-nilai b0 dan b1 sama dengan nilai-nilai yang diperoleh dari rumus yang diberikan. Oleh karena itu, P(0) dan P(1) benar.
2. Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ 1, misalkan P(i) benar untuk 0 ≤ i ≤ k. Sehingga hipotesis induksi kita adalah
   
   untuk semua bilangan bulat 0 ≤ i ≤ k. Selanjutnya kita akan menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu
   
   Karena k ≥ 1 maka k + 1 ≥ 2, dan kita dapat menuliskan
   Sehingga kita telah membuktikan bahwa jika P(i) benar maka P(k + 1) benar. Jadi dengan menggunakan induksi matematika kuat, kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.

Soal 23: Membuktikan Sifat Barisan

Misalkan c₀, c₁, c₂, … adalah barisan yang didefinisikan sebagai berikut.

untuk semua bilangan bulat k ≥ 3. Buktikan c_n ≤ 3ⁿ untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.

Pembahasan Misalkan P(n) menotasikan pernyataan

Akan kita tunjukkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.

1. Pertama kita akan tunjukkan bahwa P(0), P(1), dan P(3) benar. Sesuai definisi barisan tersebut, c₀ = 1, c₁ = 2, dan c₂ = 3, kita dapat melihat bahwa c₀, c₁, dan c₂ secara berturut-turut kurang dari sama dengan 3⁰ = 1, 3¹ = 3, 3² = 9. Sehingga P(0), P(1), dan P(2) bernilai benar.
2. Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ 2, kita anggap bahwa P(i) benar untuk 0 ≤ i ≤ k. Sehingga hipotesis induksi kita adalah
   
   untuk 0 ≤ i ≤ k. Dengan menggunakan hipotesis ini kita akan menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu
   
   Untuk k ≥ 2 yang mengakibatkan k + 1 ≥ 3, kita memperoleh
   
   Sehingga kita telah menunjukkan bahwa P(i) benar maka P(k + 1) benar. Jadi, berdasarkan Langkah 1 dan 2 kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.

Soal 24: Induksi Matematika Kuat

Suatu permainan memiliki aturan bahwa dua pemain dalam permainan tersebut secara bergiliran mengambil sejumlah batang korek api yang dia mau dari satu dari dua bungkus korek api. Pemain yang berhasil mengambil batang korek api terakhir ditetapkan sebagai pemenang permainan ini. Tunjukkan bahwa jika dua bungkus korek api tersebut memuat batang korek api dengan jumlah yang sama, pemain kedua selalu dapat menjadi pemenang dalam permainan ini.

Pembahasan Misalkan n adalah banyaknya batang korek api dalam masing-masing bungkus. Kita akan gunakan induksi matematika untuk membuktikan P(n), yang menyatakan bahwa pemain kedua dapat memenangkan permainan jika mula-mula terdapat n batang korek api dalam masing-masing bungkus.

1. Ketika n = 1, pemain pertama hanya memiliki satu pilihan, yaitu mengambil satu batang korek api dari salah satu bungkus, dan meninggalkan satu bungkus dengan satu batang korek api, yang dapat diambil oleh pemain kedua untuk memenangkan pertandingan.
2. Hipotesis induksi kita adalah pernyataan P(i) benar untuk semua i dengan 1 ≤ i ≤ k, yaitu anggapan bahwa pemain kedua dapat selalu menang jika terdapat i batang korek, di mana 1 ≤ i ≤ k, dalam masing-masing bungkus korek api. Kita harus menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu bahwa pemain kedua dapat memenangkan permainan ketika mula-mula terdapat k + 1 batang korek api dalam masing-masing bungkus, yang berdasarkan anggapan bahwa P(i) benar untuk i = 1, 2, 3, …, k. Sehingga misalkan terdapat k + 1 batang korek api di dalam masing-masing bungkus pada awal permainan dan misalkan pemain pertama mengambil sejumlah r batang korek api (1 ≤ r ≤ k) dari salah satu bungkus, dan menyisakan k + 1 – r batang korek api dalam bungkus tersebut. Dengan mengambil batang korek api dengan jumlah yang sama dari bungkus yang lain, pemain kedua membuat keadaan di mana terdapat dua bungkus yang masing-masing memiliki k + 1 – r batang korek api. Karena 1 ≤ k + 1 – r ≤ k, sekarang kita dapat menggunakan hipotesis induksi untuk menyimpulkan bahwa pemain kedua selalu dapat memenangkan permainan. Dan jika pemain pertama mengambil sejumlah k + 1 batang korek api dari satu bungkus, pemain kedua dapat memenangkan permainan dengan mengambil semua sisa batang korek api dalam bungkus lainnya.

Berdasarkan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika kuat bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Soal 25: Induksi Matematika Kuat

Buktikan bahwa bea pos sejumlah Rp 12.000,00 atau lebih dapat dibentuk dengan menggunakan perangko seharga Rp 4.000,00 dan perangko seharga Rp 5.000,00.

Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan yang menyatakan bahwa bea pos dengan harga n ribu rupiah dapat dibentuk dengan menggunakan perangko-perangko seharga Rp 4.000,00 dan Rp 5.000,00.

1. Kita dapat membentuk bea pos sejumlah Rp 12.000,00, Rp 13.000,00, Rp 14.000,00 dan Rp 15.000,00 secara berturut-turut dengan menggunakan tiga perangko seharga Rp 4.000,00, dua perangko seharga Rp 4.000,00 dan satu perangko seharga Rp 5.000,00, satu perangko seharga Rp 4.000,00 dan dua perangko seharga Rp 5.000,00, dan tiga perangko seharga Rp 5.000,00. Hal ini menunjukkan bahwa P(12), P(13), P(14), dan P(15) benar.
2. Hipotesis induksi kita adalah bahwa pernyataan P(i) benar untuk 12 ≤ i ≤ k, di mana k adalah bilangan bulat dengan k ≥ 15. Dengan kata lain kita dapat membentuk bea pos sejumlah i ribu rupiah, di mana 12 ≤ i ≤ k. Kita harus menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu bahwa kita dapat membentuk bea pos sejumlah k + 1 ribu rupiah. Dengan menggunakan hipotesis induksi, kita dapat menganggap bahwa P(k – 3) benar karena k – 3 ≥ 12, yaitu kita dapat membentuk bea pos sejumlah k – 3 ribu rupiah dengan menggunakan perangko-perangko seharga Rp 4.000,00 dan Rp 5.000,00. Untuk membentuk bea pos sejumlah k + 1 ribu rupiah, kita hanya perlu untuk menambah perangko seharga Rp 4.000,00 lainnya kepada bea pos yang berharga k – 3 ribu rupiah tersebut. Sehingga, kita telah menunjukkan bahwa jika hipotesis induksi kita benar maka P(k + 1) juga benar.

Karena kita telah melakukan Langkah 1 dan 2 pada induksi matematika kuat, kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 12.

Penutup

Pada pembahasan ini kita telah belajar mengenai induksi matematika, suatu metode yang digunakan untuk membuktikan pernyataan yang bergantung pada bilangan bulat positif. Metode ini terdiri dari dua langkah, yaitu langkah dasar dan langkah induksi. Pada langkah dasar kita harus menunjukkan bahwa pernyataan yang diberikan bernilai benar untuk nilai awal. Sedangkan pada langkah induksi, kita harus menunjukkan bahwa jika P(k) benar maka P(k + 1) benar untuk sebarang bilangan bulat positif k. Oleh karena itu, pada Soal 1 kita berlatih untuk membentuk pernyataan P(k + 1) dari pernyataan P(k) yang diberikan.

Pada Soal 2 kita berlatih menggunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus jumlah n bilangan ganjil pertama. Soal 3 menjelaskan bagaimana kita menggunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus jumlah n bilangan bulat positif pertama. Pada Soal 4 kita mencoba untuk membuktikan rumus jumlah perkalian dari dua bilangan bulat positif yang berurutan. Sedangkan Soal 5 menjelaskan penggunaan induksi matematika untuk membuktikan rumus jumlah perkalian antara bilangan bulat positif dengan pangkat dari 2.

Prinsip induksi matematika juga dapat digunakan untuk membuktikan suatu pertidaksamaan. Soal 6, 7, 8, dan 9 menjelaskan bagaimana kita membuktikan suatu pertidaksamaan dengan menggunakan induksi matematika. Selain itu, mulai Soal 6 kita dikenalkan dengan Prinsip Induksi Matematika yang Diperluas. Pada induksi matematika ini, nilai awal yang diberikan tidak selalu 1, tetapi bisa bilangan bulat lainnya.

Mulai Soal 10 kita berlatih untuk membuktikan faktor dari suatu bentuk tertentu. Soal 10 menjelaskan bagaimana kita membuktikan bahwa 3 adalah faktor 4ⁿ – 1 untuk semua bilangan bulat positif n. Pada Soal 11 kita berlatih untuk membuktikan bahwa x – y adalah faktor dari xⁿ – yⁿ untuk semua bilangan bulat positif n. Soal 12 dan 13 merupakan permasalahan yang serupa dengan dua soal tersebut.

Prinsip Induksi Matematika juga dapat digunakan untuk membuktikan dugaan kita mengenai pola suatu barisan. Sebelum itu, kita harus mengamati pola yang tampak dari beberapa suku awal suatu barisan yang diberikan. Metode ini dijelaskan dalam Soal 14 dan 15.

Soal 16, 17, dan 18 menunjukkan bagaimana induksi matematika digunakan untuk membuktikan pernyataan mengenai keterbagian. Setelah Soal 18, kita dikenalkan dengan Prinsip Induksi Matematika Kuat. Prinsip ini hampir sama dengan induksi matematika biasa, tetapi dalam langkah dasar kita harus menunjukkan kebenaran dari beberapa nilai awal. Selain itu, hipotesis induksi dalam prinsip ini memuat pernyataan yang dianggap benar mulai dari nilai awal sampai suatu bilangan tertentu. Induksi matematika kuat ini digunakan dalam Soal 19, 20, 21, 22, 23, 24, dan 25. Semoga bermanfaat,

 By. Fajar Kira