Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi

Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi Serta Pembahasannya

PERMUTASI
1). Lima putra dan tiga putri duduk berderet pada 8 kursi kosong sesuai dengan 8 lembar karcis bioskop yang mereka miliki. Berapa banyak cara untuk duduk yang diperoleh dengan urutan berbeda jika :
Putra dan putri dapat duduk di sembarang kursi? 
Putra dan putri masing-masing mengelompok sehingga hanya sepasang putra dan putri yang dapat duduk berdampingan?
Jawaban :
Terdapat 8 orang yang menempati 8 kursi dimana perbedaan urutan duduk memberikan hasil yang berbeda. Ini adalah masalah permutasi 8 unsur dari 8 unsur atau P(8, 8) diberikan oleh : P(8, 8) = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 3 x 2 x 1 = 40.320
5 orang putra duduk pada 5 kursi tertentu dan pertukaran duduk hanya boleh pada ke 5 kursi tersebut, sehingga banyaknya cara duduk putra adalah P(5, 5). Demikian juga 3 putri duduk pada tiga kursi tertentu dan pertukaran duduk diatara mereka hanya boleh pada ke 3 kursi ini, sehingga banyaknya cara untuk duduk putri adalah P(3, 3). Dengan demikian, banyak cara duduk 5 putra dan 3 putri yang masing-masing mengelompok adalah P(5, 5) x P(3, 3) = 5! X 3! = 720  

2). Jika huruf-huruf pada kata "BOROBUDUR" dipertukarkan, berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat diperoleh?
Berapa cara yang berbeda untuk menuliskan hasil kali a4b2c2 tanpa menggunakan eksponen?
Jawaban :
Pada kata BOROBUDUR terdapat 9 huruf dengan huruf B diulang 2 kali, huruf O diulang 2 kali, huruf R diulang 2 kali, dan huruf U diulang 2 kali. Banyaknya susunan huruf berbeda yang diperoleh diberikan oleh rumus berikut: 

3). Sebuah keluarga terdiri atas 5 orang. Mereka akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar untuk makan bersama. Berapa banyaknya cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan tersebut dengan urutan yang berbeda?
Jawaban :
Banyaknya cara agar 5 orang dapat duduk mengelilingi meja makan sama dengan banyak permutasi siklis 5 elemen, yaitu :
(5 -1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

4). Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu. 
Jawab:
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara

5). Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk denganurutan yang berlainan? 
Jawab:
Banyaknya cara duduk ada (7 - 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.

KOMBINASI

1). Seorang pemuda akan mempersembahkan serangkaian bunga dua warna dari lima warna bunga yang terdapat di tamannya. Berapa macam rangkaian bunga yang dapat dibuat pemuda tersebut?
Jawaban :

Apakah sama antara rangkaian bunga {Merah, Kuning} dengan rangkaian bunga {Kuning, Merah} ? Kasus tersebut dinamakan kombinasi dua unsur dari lima unsur yang tersedia dan dilambangkan dengan :
Permutasi 2 unsur dari 5 unsur ditulis  yang merupakan dua kejadian berikut :
Membuat rangkaian bunga yang memiliki 2 unsur dari 5 unsur yang tersedia dengan tidak
memperhatikan urutan terdapat  cara
Menyusun elemen-elemen himpunan bagian dalam urutan yang berbeda yaitu {MK, KM}, {MB, BM}, {MH, HM}, {MP, PM}, {KB, BK}, {KH, HK}, {KP, PK}, {BH, HB}, {BP, PB}, dan {HP, PH} terdapat dua cara penyusunan atau 2! cara
Kejadian gabungan 1 diikuti oleh 2 adalah permutasi 2 unsur dari 5 unsur atau  P(5, 2) = 

Sehingga banyaknya kombinasi r elemen dari n elemen dengan 0 < r < n, diberi notasi  adalah

2). Tentukan nilai dari:
a) 12C4
b) 10C3

Jawaban
a) 12C4

                 12!                      12!          12 . 11 . 10 . 9 . 8!            12.11.10.9
12C4 = _________________ = ________ = ______________________  = ___________________ = 495
           (12 − 4)! 4!              8! 4!        8 !    4 . 3.2.1                       4.3.2.1 

b) 10C3

                  10!                  10!               10 . 9 . 8 . 7!         10.9.8
10C3 = _______________ = __________ = _________________ =____________ = 120
           (10 − 3)! 3!            7! 3!             7 ! 3!                      3.2.1


3). 8 anak pada suatu acara saling berjabat tangan satu sama lain. Tentukan banyaknya jabat tangan yang terjadi!

Jawaban :
Kombinasi dengan n = 8 dan r = 2
                  8!                    8!               8 . 7 . 6 ! 
8 C 3 = _____________ = __________ = _______________ = 28 jabat tangan
           (8 − 2)! 2!            6! 2!              6! 2.1 

4). Untuk mengikuti suatu perlombaan sekolah akan memilih 3 orang siswa dari 12 anak bersedia untuk ikut dalam perlombaan. Tentukan banyaknya kombinasi anak yang diperoleh sekolah dari ke 12 anak tersebut!

Jawaban :
Kombinasi 3 dari 12

                     12!             12 !          12.11.10. 9 !           12.11.10
12C3 = ____________ = ___________ = ________________ = _______________ = 220
           (12 − 3)! 3!                9! 3!              9 ! 3!                3.2.1

5). 6 orang siswa terpilih untuk mengikuti perlombaan tenis meja ganda. Tentukan banyaknya cara penyusunan pasangan pemain dari keenam siswa tersebut!

Jawaban :
Kombinasi 2 dari 6 : 

             6!              6!               6.5.4 !
6C2 = ___________ = ________ = ___________ = 15 cara pemasangan
          (6 -2)! 2!     4! 2!             4! 2.1

Permutasi dan Kombinasi Matematika - Pelajaran matematika mengenai permutasi dan kombinasi  diajarkan pada siswa-siswi yang duduk di kelas XI SMA. Materi ini masih berkaitan dengan Peluang. Lalu apa bedanya peluang, permutasi dan kombinasi? Tenang, jangan terburu-buru. Pada artikel ini Rumus Matematika Dasar akan menjabarkan satu-persatu kepada kalian mengenai permutasi dan kombinasi dalam matematika. Sedangkan untuk materi peluang dapat kalian akses pada artikel yang membahas tentang Pengertian dan Rumus Peluang Matematika.

Seperti biasa, di sini kalian tidak hanya memperoleh penjelasan materi namun juga rumus serta contoh-sontoh soal dan penjelasan mengenai langkah-langkah dalam menjawab soal tersebut. Oleh karenanya, kalian harus memperhatikan dengan baik uraian materi serta penjelasan rumus yang diberikan.

 

Pengertian Permutasi dan Kombinasi Matematika

 

Permutasi

Di dalam ilmu matematika permutasi diartikan sebagai sebuah konsep penyusunan sekumpulan objek/angka menjadi beberapa urutan berbeda tanpa mengalami pengulangan.

Di dalam permutasi, urutan sangat diperhatikan. setiap objek yang dihasilkan harus berbeda antara satu dengan yang lain. kita ambil contoh, urutan huruf ({ABC} berbeda dengan {CAB} begitu juga dengan {BAC) dan {ACB}). Rumus untuk mencari banyaknya permutasi n unsur jika disusun pada unsur k di mana k ≤ n adalah:

Rumus Permutasi

P(n,k) =   n!  

     (n-k)!

Untuk memahami rumus tersebut, perhatikan pembahasan soal di bawah ini:

Contoh Soal 1

Di sebuah sekolah ada 4 orang guru yang dicalonkan untuk mengisi posisi bendahara dan sekertaris. Coba kalian tentukan banyaknya cara yang dapat digunakan untuk mengisi posisi tersebut!

Pembahasan:

Soal di atas dapat dituliskan sebagai permutasi P(4,2), n(banyaknya guru) = 4 k (jumlah posisi) = 2

masukkan ke dalam rumus:

P(4,2) =   4!     = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 = 12

              (4-2)!           2 x 1           2

Contoh Soal 2

Berapakah banyaknya bilangan yang dibentuk dari 2 angka berbeda yang dapat kita susun dari urutan angka 4, 8, 2, 3, dan 5?

Pembahasan:

pertanyaan di atas dapat disimpulkan sebagai permutasi yang terdiri dari 2 unsur yang dipilih dari 5 unsur maka dapat dituliskan sebagai P(5,2). tinggal kita masukkan ke dalam rumus.

P(5,2) =   5!     = 5x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 = 20

              (5-2)!        3 x 2 x 1              6

Maka ada 20 cara yang dapat dilakukan untuk menysyn bilangan tersebut menjadi 2 angka yang berbeda-beda (48, 42, 43, 45, 84, 82, 83, 85, 24, 28, 23, 25, 34, 38, 32, 35, 54, 58, 53, 52).

Kombinasi

kombinasi merupakan sebuah kumpulan dari sebagian atau seluruh objek dengan tidak memperhatikan urutannya. di dalam kombinasi, {AB} dianggap sama dengan {BA} sehingga sebuah kombinasi dari dua objek yang sama tidak dapat terulang.

Rumus kombinasi dari suatu himpunan yang mempunyai n elemen dapat dituliskan sebagai berikut:

Rumus Kombinasi

C(_n,r) = _nC_r = ⁿC_r =     n!     

                                  r!(n-r)!

Mari kita amati penggunaan rumus tersebut untuk menyelesaikan soal-soal di bawah ini:

Contoh Soal 3

Manuel Pelegrini membawa 16 pemain saat Manchester City melawan Liverpool di Etihad Stadium. 11 orang diantaranya akan dipilih untuk bermain pada babak pertama. jika kita tidak memperhatikan posisi pemain, berapakah banyaknya cara yang dapat diambil oleh pelatih untuk memilih pemain?

Pembahasan:

Karena tidak mementingkan posisi pemain, maka kita gunakan rumus kombinasi:

¹⁶C₁₁ =       16!        =  16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 11!  =          524160         =  524160  = 4368

              11!(16-11)!                      11!5!                           5 x 4 x 3 x 2 x 1          120

Contoh Soal 4

Sebuah ember berisi 1 buah alpukat, 1 buah pir, 1 buah jeruk dan 1 buah salak. berapakah banyaknya kombinasi yang tersusun dari 2 macam buah?

Pembahasan:

diketahui n = 4 dan r = 2, maka:

⁴C3 =       4!        =  4 x 3 x 2 x 1  =      24         =  24  = 4

              3!(4-3)!           3!1!              3 x 2 x 1         6

PERMUTASI

11)    Ada berapa cara bila 4 orang remaja (w,x, y, z) menempati tempat duduk yang akan disusun dalam suatu susunan yang teratur?

Jawaban:

4P4 = 4!

= 4 x 3 × 2 × 1

= 24 cara

22)    Menjelang Pergantian kepengurusan BEM STMIK Tasikmalaya akan dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada berapa pasang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?

Jawaban:

6P2 = 6!/(6-2)!

= (6.5.4.3.2.1)/(4.3.2.1)

= 720/24

= 30 cara

33)    Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah kelima mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja tersebut?

Jawaban:

P5 = (10-1)!

= 9.8.7.6.5.4.3.2.1

= 362880 cara

4)   Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “STMIK”?

Jawab :

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 buah kata

55)    Peluang lulusan PNJ dapat bekerja pada suatu perusahaan adalah 0,75. Jika seorang lulusan PNJ mendaftarkan pada 24 perusahaan, maka berapakah dia dapat diterima oleh perusahaan?

Jawaban:

Frekuensi harapan kejadian A adalah Fh(A) = n × P(A)

Diketahui P(A) = 0,75 dan n = 24. Maka:

Fh(A) = 24 × 0,75 = 18 perusahaan.

6)    Terdapat tiga orang (X, Y dan Z) yang akan duduk bersama di sebuah bangku. Ada berapa urutan yang dapat terjadi ?

Jawaban:

nPx = n!

3P3 = 3!

= 1 x 2 x 3

= 6 cara (XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX).

77)    Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan D) akan memilih ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternatif susunan ketua dan wakil ketua dapat dipilih ?

Jawaban:

nPx = (n!)/(n-x)!

4P2 = (4!)/(4-2)!

= 12 cara (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC) .

8)    Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.

Jawaban:

Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.

Maka banyaknya cara duduk ada :

7P3 = 7!/(7-3)!

= 7!/4!

= 7.6.5

= 210 cara

9)    Ada berapa cara 5 gelas warna yang mengitari meja kecil, dapat menempati kelima tempat dengan urutan yang berlainan?

Jawaban:

Banyaknya cara duduk ada (5 – 1) ! = 4 ! ® 4. 3 . 2 . 1 = 24 cara.

110) Tentukan banyaknya permutasi siklus dari 3 unsur yaitu A, B, C

jawab:

Jika A sebagai urutan I : ABC

Jika B sebagai urutan I : BCA

Jika C sebagai urutan III : CAB

Jika banyak unsur n=4 –> A, B, C, D

jadi banyaknya permutasi siklis dari 4 unsur ( A B C D) adalah 4!/4 = 4.3.2.1/4 = 6

KOMBINASI

11)  Dalam mengadakan suatu pemilihan dengan menggunakan obyek 4 orang pedagang kaki lima untuk diwawancarai, maka untuk memilih 3 orang untuk satu kelompok. Ada berapa cara kita dapat menyusunnya?

Jawaban:

4C3 =4! / 3! (4-3)!

= (4.3.2.1) / 3.2.1.1

= 24 / 6

= 4 cara

12) Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.

Jawaban:

nCx = (n!)/(x!(n-x)!) 

4C3 = (4!)/(3!(4-3)!)

= 24/6 = 4 macam kombinasi (MKB, MKH, KBH, MBH).

13)  Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.

Jawaban:

10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan

14) Suatu kelompok yang terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita akan memilih 3 orang pengurus. Berapa cara yang dapat dibentuk dari pemilihan jika pengurus terdiri dari 2 orang pria dan 1 orang wanita.

Jawaban:

3C2 . 2C1 = (3!)/(2!(3-2)!) . (2!)/(1!(2-1)!) = 6 cara, yaitu : L1 L2 W1 ; L1 L3 W1 ; L2 L3 W1 ; L1 L2 W2 ; L1 L3 W2 ; L2 L3 W2

15)  Dalam sebuah ujian, seorang mahasiswa diwajibkan mengerjakan 5 soal dari 8 soal yg tersedia. Tentukan:

a.    banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin untuk dikerjakan

b.    banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin dikerjakan jika no.6 dan 7 wajib dikerjakan.

Jawaban:

c.    8 C5 = 8!/5!(8-5)! = (8×7×6×5!)/5!3! = 56 cara

d.    6C3 = 6!/3!(6-2)! = (6×5×4×3!)/3!3! = 20 cara

16) Banyak cara memilih 4 pengurus dari 6 calon, yang ada sama dengan ....

Jawaban:

6C4 = 6!/4!(6-4)! = (6×5×4!)/4!2! = 15 cara

17)  Dalam sebuah kantoh terdapat 7 kelereng. Berapa banyak cara mengambil 4 kelereng dari kantong tersebut?

Jawaban:

7C4 = 7!/4!(7-4)! = (7×6×5×4!)/4!3! = 35 cara

18) Siswa di minta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan, tetapi soal 1-5 harus di kerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid adalah.

Jawaban:

5C4 = 5!/4!(5-4)! = (5×4!)/4!1! = 5 cara

19) Seorang peternak akan membeli 3 ekor ayam dan 2 ekor kambing dari seorang pedagang yang memiliki 6 ekor ayam dan 4 ekor kambing. Dengan berapa cara peternak tersebut dapat memilih ternak-ternak yang di inginkannya?

Jawaban:

Banyak cara memilih ayam = 6C3 = 6!/3!(6-3)! = 6!/3!3! = 20 cara

Banyak cara memilih kambing = 4C2 = 4!/2!(4-2)! = (4×3×2!)/2!2! = 6 cara

Jadi, peternak tersebut memiliki pilihan sebanyak = 20×6 = 120 cara

20) Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan yg terdiri dari 5 putra dan 3 putri. Jika terdapat 15 pelamar, 9 diantaranya putra. Tentukan banyaknya cara menyeleksi karyawan!

Jawaban:

Pelamar putra = 9 dan pelamar putri 6 banyak cara menyeleksi:

9C5 x 6C3 = 9!/5!x(9-5)! x 6!/3!x(6-3)! = 2360

Pengertian Permutasi 

Permutasi adalah penyusunan beberapa objek dengan memperhatikan urutannya. Yang perlu diperhatikan dalam permutasi adalah objek-objek yang ada harus dibedakan satu dengan yang lainnya. Permutasi dapat dirumuskan sebagai berikut :

n = n! /( n – r )!

• Permutasi Tanpa Pengulangan

Permutasi berkaitan dengan pengaturan suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan objek tanpa ada pengulangan. Susunan pada permutasi memperhatikan urutannya.

• Permutasi Dengan Pengulangan

Permutasi dengan pengulangan merupakan permutasi r objek dari n buah objek yang tidak harus berbeda.

• Permutasi Siklik

Permutasi siklik berkaitan dengan penyusunan sederetan objek yang melingkar.

Pengertian Kombinasi

Kombinasi adalah campuran atau gabungan atau susunan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan yang tidak mementingkan urutan elemen.

Kombinasi dapat dirumuskan sebagai berikut :

n = n! /r ! ( n – r )!

Contoh soal-soal Permutasi dan Kombinasi :

1. Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.
   Jawaban :
   Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
   Maka banyaknya cara duduk ada :
   7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara.
2. Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan D) akan memilih ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternatif susunan ketua dan wakil ketua dapat dipilih?
   Jawaban :
   nPx = (n!)/(n-r)!
   4P2 = (4!)/(4-2)!
          = 12 cara (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC).
3. Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 5 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah kelima mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja tersebut?
   Jawaban :
   P5 = (5-1)!
        = 4.3.2.1
        = 24 cara
4. Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “HAPUS”?
   Jawaban :
   5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 buah kata.
5. Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?
   Jawaban :
   Banyaknya cara duduk ada (7 – 1) ! = 6 !
                                                             = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 cara
6. Berapa banyak susunan huruf-huruf yang berbeda yang  dapat disusun dari huruf-huruf pada kata “ SSST “?
   Jawaban :
   → P = 4!3!  = 4.3.2.1 3.2.1  = 4 macam susunan ( SSST,SSTS, STSS,TSSS )
7. Dengan berapa cara 9 kue yg berbeda dapat diisusun melingkar diatas sebuah meja ?
   Jawab : P = (9-1)! = 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40.320
8. Dalam beberapa cara 3 orang ppedagang kaki lima (A, B, C) yang menempati suatu lokasi perdagangan akan disusun dalam suatu susunan yang teratur?
   Jawab :
   3P3 = 3!
          = 3 × 2 × 1
          = 6
9. Menjelang HUT RI yang akan datang di salah satu desa  akan dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada berapa sang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?
   Jawab :
   6P2 = 6!/(6-2)!
          = (6.5.4.3.2.1)/(4.3.2.1)
          = 720/24
          = 30 cara.
10. Dalam berapa carakah kata “JAKARTA” dapat dipermutasikan?
    Jawaban:
    P7 = 7! / 1!.3!.1!.1!.1!
         = 840 cara.
11. Untuk pemilihan 4 mahasiswa menjadi pengurus himpunan mahasiswa jurusan matematika FMIPA UNM terdapat 8 mahasiswa prodi pendidikan matematika dan 6 mahasiswa prodi matematika yang memenuhi syarat untuk dipilih. Berapa banyak cara memilih pengurus bila semua anggota pengurus dari prodi yang sama?
    Jawaban :
    Dari prodi pendidikan matematika 8 orang, harus dipilih 4 orang. Berarti kita hitung dengan menggunakan C (8,4) = 70 cara
    Sedangkan dari prodi matematika, kita dapat memilih dengan C (6,4) = 6!/2!4! = 36x5x4!/2×4! = 15 cara.
    Sehingga jika yang terpilih adalah mahasiswa dari prodi yang sama, kemungkinan banyak cara memilih adalah C (8,4) + C (6,4) = 70 + 15 = 85 cara.
12. Seorang mahasiswa pascasarjana mempunyai teman belajar 11 orang. Dengan berapa carakah jika 2 dari temannya adalah suami istri dan harus hadir bersama-sama. Jika A dan B tidak hadir, maka 5 orang teman lainnya dapat diundang dengan cara (9,5).
    Jawaban :
    Jadi banyak cara memilih di bagian ini adalah
    C (9,3) + C (9,5) = 9!/3!6! + 9!/5!4! = 84 + 126 = 210 cara.
13. Sebuah panitia terdiri atas Ketua, Wakil Ketua, Sekretaris, dan Bendahara. Berapa banyak susunan panitia yang dapat dibentuk dari 9 orang?
    Dalam hal ini n = 9 dan k = 4, karena setiap posisi yaitu ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara akan dijabat oleh 1 orang maka banyak cara memilih 4 orang dari 9 orang adalah?
    Jawaban :
    C (9,4) = 9! / 4! (9-4)! = 9! / 4!5! = 126 cara.
14. Seorang peternak akan membeli 3 ekor ayam dan 2 ekor kambing dari seorang pedagang yang memiliki 6 ekor ayam dan 4 ekor kambing. Dengan berapa cara peternak tersebut dapat memilih ternak-ternak yang di inginkannya?
    Jawaban :
    Banyak cara memilih ayam = 6C3 = 6!/3!(6-3)! = 6!/3!3! = 20 cara
    Banyak cara memilih kambing = 4C2 = 4!/2!(4-2)! = (4×3×2!)/2!2! = 6 cara
    Jadi, peternak tersebut memiliki pilihan sebanyak = 20×6 = 120 cara.
15. Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan yg terdiri dari 5 putra dan 3 putri. Jika terdapat 15 pelamar, 9 diantaranya putra. Tentukan banyaknya cara menyeleksi karyawan!
    Jawaban :
    Pelamar putra = 9 dan pelamar putri 6 banyak cara menyeleksi :
    9C5 x 6C3 = 9!/5!x(9-5)! x 6!/3!x(6-3)! = 2360
16. 6)    Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.
    Jawaban :
    nCx = (n!)/(x!(n-x)!)
    4C3 = (4!)/(3!(4-3)!)
            = 24/6
            = 4 cara (MKB, MKH, KBH, MBH).
17. Banyak cara memilih 4 pengurus dari 6 calon, yang ada sama dengan ....
    Jawaban :
    6C4 = 6!/4!(6-4)! = (6×5×4!)/4!2! = 15 cara.
18. Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.
    Jawaban :
    10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45
19. Dalam sebuah ruangan terdapat 9 orang. Jika mereka saling bersalaman maka berapa banyak salaman yang akan terjadi?
    Jawaban:
    9C2 = 9!/2!(9-2)! = (9×8×7!)/2!7! = 36
20. Siswa di minta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan , tetapi soal 1-5 harus di kerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid adalah.
    Jawaban :
    5C4 = 5!/4!(5-4)! = (5×4!)/4!1! = 5

PERMUTASI DAN KOMBINASI

1.PERMUTASI

Permutasi merupakan penyusunan obyek-obyek yang ada ke dalam suatu urutan tertentu. Hal yang perlu diperhatikan dalam permutasi adalah bahwa obyek-obyek yang ada harus dapat “dibedakan” antara yang satu dengan yang lain. Permutasi dapat dirumuskan :

 nPx = (n!)/(n-x)! ; dimana n = banyaknya seluruh obyek, dan x = banyaknya obyek yang dipermutasikan.

Nilai n dan x masing-masing harus lebih besar dari nol. Jika nilai x < n disebut dengan Permutasi Sebagian Obyek.

Jika nilai x = n, maka disebut Permutasi Seluruh Obyek,sehingga rumus tersebut dapat disederhanakan menjadi : nPx = n

Contoh :

Terdapat tiga orang (X, Y dan Z) yang akan duduk bersama di sebuah bangku. Ada berapa urutan yang dapat terjadi ?

Jawab :

 nPx = n! ; 3P3 = 3! = 1 x 2 x 3 = 6

cara (XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX) .

Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan D) akan memilih ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternatif susunan ketua dan wakil ketua dapat dipilih ?

Jawab :

 nPx = (n!)/(n-x)! ; 4P2 = (4!)/(4-2)! = 12 cara (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC) .

2.KOMBINASI

Perbedaan antara Permutasi dan Kombinasi terletak pada masalah “urutan atau kedudukan” penyusunan dari sekelompok obyek. Dalam permutasi masalah urutan atau kedudukan menjadi sangat penting, sedangkan dalam kombinasi tidak mementingkan urutan atau kedudukan dari sekelompok obyek tersebut.

Pada permutasi urutan obyek XYZ; XZY; ZYX adalah berbeda, tetapi untuk kombinasi urutan tersebut dianggap sama. Dengan demikian kombinasi merupakan cara pemilihan obyek yang bersangkutan dengan tidak memperhatikan urutan dari obyek tersebut. Untuk menghitung banyaknya hasil kombinasi dari obyek dapat diformulasikan : nCx = (n!)/(x!(n-x)!) ; dimana n : banyaknya seluruh obyek yang ada, dan x : banyaknya obyek yang dikombinasikan.
Nilai x < n dan jika x = n formulasi tersebut menjadi nCn = 1.

 Contoh :

Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.
Jawab :

nCx = (n!)/(x!(n-x)!) ; 4C3 = (4!)/(3!(4-3)!) = 24/6 = 4 macam kombinasi (MKB, MKH, KBH, MBH).
Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.
Jawab :

10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan.

Contoh so’al permutasi dan kombinasi:

1.Peluang lulusan PNJ dapat bekerja pada suatu perusahaan adalah 0,75. Jika seorang lulusan PNJ mendaftarkan pada 24 perusahaan, maka berapakah dia dapat diterima oleh perusahaan?
Jawaban:

Frekuensi harapan kejadian A adalah Fh(A) = n × P(A)

Diketahui P(A) = 0,75 dan n = 24.

Maka:
Fh(A) = 24 × 0,75 = 18 perusahaan.

2.Terdapat tiga orang (X, Y dan Z) yang akan duduk bersama di sebuah bangku. Ada berapa urutan yang dapat terjadi ?

Jawaban:
nPx = n!

3P3 = 3!

       = 1 x 2 x 3

        = 6 cara (XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX).

3.Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan D) akan memilih ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternatif susunan ketua dan wakil ketua dapat dipilih ?
Jawaban:
nPx = (n!)/(n-x)!

 4P2 = (4!)/(4-2)!

        = 12 cara (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC) .

4.Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.

Jawaban:
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.

Maka banyaknya cara duduk ada :

7P3 = 7!/(7-3)!

       = 7!/4!

       = 7.6.5

       = 210 cara

5.Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?

Jawaban:
Banyaknya cara duduk ada (7 – 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.

6.Dalam mengadakan suatu pemilihan dengan menggunakan obyek 4 orang pedagang kaki lima untuk diwawancarai, maka untuk memilih 3 orang untuk satu kelompok. Ada berapa cara kita dapat menyusunnya?

Jawaban:
4C3 =4! / 3! (4-3)!

        = (4.3.2.1) / 3.2.1.1

        = 24 / 6

        = 4 cara

 7.Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.
Jawaban:
nCx = (n!)/(x!(n-x)!) 

4C3 = (4!)/(3!(4-3)!)

        = 24/6 = 4 macam kombinasi (MKB, MKH, KBH, MBH).

8.Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.

Jawaban:
10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan

9.Suatu kelompok yang terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita akan memilih 3 orang pengurus. Berapa cara yang dapat dibentuk dari pemilihan jika pengurus terdiri dari 2 orang pria dan 1 orang wanita.

Jawaban:
3C2 . 2C1 = (3!)/(2!(3-2)!) . (2!)/(1!(2-1)!) = 6 cara, yaitu : L1 L2 W1 ; L1 L3 W1 ; L2 L3 W1 ; L1

 L2 W2 ; L1 L3 W2 ; L2 L3 W2

10.Dalam sebuah ujian, seorang mahasiswa diwajibkan mengerjakan 5 soal dari 8 soal yg tersedia.

 Tentukan:

a.    banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin untuk dikerjakan

b.    banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin dikerjakan jika no.6 dan 7 wajib dikerjakan.

Jawaban:

a.    8 C5 = 8!/5!(8-5)! = (8×7×6×5!)/5!3! = 56 cara

b.    6C3 = 6!/3!(6-2)! = (6×5×4×3!)/3!3! = 20 cara

Dalam suatu ruangan terdapat 30 orang. Setiap orang saling bersalaman. Banyaknyasalaman yang dilakukan seluruhnya adalah ....A.

435B.

455C.

870D.

875E.

885

Pembahasan:

Soal ini berkaitan dengan kombinasi.Banyaknya salaman yang dapat dilakukan dari 20 orang adalah

302

C 

 !2)!230( !30

−=

 22930

×=

435

=

Jawaban: A

2.

Diketahui empat angka 4, 5, 6 dan 7. Banyak cara untuk menyusun bilangan-bilanganyang terdiri dari empat angka dengan syarat bahwa bilangan-bilangan itu tidak mempunyai angka yang sama adalah .... cara.A.

8B.

12C.

16D.

18E.

24

Pembahasan:

Banyaknya cara untuk menyusun bilangan-bilangan yang terdiri dari empata angkadengan syarat tidak ada bilangan yang sama adalah 4 ! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24.

Jawaban: E

3.

Suatu kotak berisi 5 kelereng merah dan 3 kelereng putih. Dua kelereng diambil satupersatu di mana kelereng pertama yang diambil dikembalikan lagi dalam kotak.Peluang terambilnya kelereng pertama pertama dan kedua berwarna merah adalah ....A.

649 B.

6415 

 

2C.

6425 D.

83 E.

85 

Pembahasan:

Karena setelah pengambilan yang pertama dikembalikan lagi dalam kotak, makaperistiwa tersebut saling bebas.64258585)()()(

=⋅=⋅=∩

BP AP B AP

.

Jawaban: C

4.

Sebuah kotak berisi 10 bola, 4 berwarna merah dan 6 berwarna putih. Peluang bahwakedua bola yang terambil terdiri atas 1 bola merah dan 1 bola putih adalah ....A.

158 B.

125 C.

156 D.

92 E.

241 

Pembahasan:

Banyak cara mengambil 2 bola dari 10 bola = 45!2!8 !10

102

=⋅=

C 

cara.Banyak cara mengambil 2 bola merah dari 4 bola merah =

=⋅=

!2!2 !4

42

C 

6 cara.Banyak cara mengambil 2 bola putih dari 6 bola putih =

=⋅=

!2!4 !6

62

C 

16 cara.Sehingga banyaknya cara mengambil 2 bola merah atau 2 bola putih adalah: 6 + 15 =21 cara. Banyak cara mengambil 2 bola berwarna 1 merah dan 1 putih adalah 45 – 21cara = 24 cara.Jadi peluang kedua bola yang terambil terdiri atas 1 bola merah dan 1 bola putihadalah1584524

=

.

Jawaban: A

5.

Dua buah dadu bermata enam dilemparkan satu kali secara bersamaan. Peluangmunculnya jumlah mata dadu 5 atau jumlah mata dadu 10 adalah ....

 

3A.

3611 B.

3610 C.

369 D.

368 E.

367 

Pembahasan:

Peluang muncul jumlah mata dadu 5 adalah .364 Peluang muncul jumlah mata dadu 10 adalah .363 Jadi, peluang jumlah mata dadu 5 atau 10 adalah:367363364)()(

=+=+

BP AP

.

Jawaban: E

6.

Dari sebuah kotak yang berisi 5 kelereng berwarna putih dan 3 kelereng berwarnamerah diambil 2 buah kelereng secara acak. Peluang terambil kedua-duanya berwarnaputih adalah ....A.

6425 B.

2810 C.

289 D.

82 E.

6410 

Pembahasan:

Ruang sample atau n(S) = 28!2!6 !8

82

==

C 

.Peluang terambilnya kelereng putih atau n(P) = 10!2!3 !5

52

==

C 

.Peluang terambil kedua-duanya berwarna putih = .2810)()(

=

S nPn

Jawaban: B